엔지니어링 노트 Q&A (1) 컨트롤 밸브의 연속방정식과 질량보존의 법칙 관계

엔지니어링 노트 Q&A 시간입니다.

Q : 컨트롤 밸브가 유량을 원하는 양 만큼 제어하는 데 목적이 있다고 했을 때, 밸브의 개폐도에 따라 유량 값이 변하잖아요. (50% 개방 시의 유량 > 25% 개방시의 유량)
그런데, 제가 궁금한 건 질량 보존의 법칙에 따라서 Q=AV로 밸브가 일부 개방하건 풀(Full)로 개방하건 유량은 같지 않나요? (정말 기초적인 질문일 수 있겠지만, 너무 궁금하네요)

A : 내용을 요약해서 살펴 보면 컨트롤 밸브의 유량 제어시 질량 보존의 법칙에 의해 유량 값은 변동사항이 없지 않을 것인가라는 내용인데요. 결론부터 얘기하면 관을 통해 이동하는 유체의 양 즉 질량에는 변화가 없습니다. 다만 컨트롤 밸브에 의해서 유량에 변화가 있을 뿐이지요. 추가적인 설명에 앞서 몇 가지 용어를 살펴보겠습니다.

• 유량 : 단면적을 갖고 있는 관 내에서 단위 시간당 흐르는 유체(압축/비압축성)의 질량값을 말합니다. (물과 같이 압력이 가해졌을 때 그 변화량이 거의 없거나 미미할 경우를 비압축성 유체라고 정의합니다.)
• 연속방정식 : Q=AV 질량보존의 법칙을 적용한 미분방정식으로 관 속을 흐르는 비압축성 유체의 질량은 어느 점에서나 똑같고 일정하다 입니다.
• 질량보존의법칙 : 어떠한 특정 질량을 갖고 있는 물질이 화학적 반응을 포함한 변동이 생기더라도 이를 전-후로 하여 질량의 변화는 없다는 것. 

질문에 대한 요지는 질량은 안 변한다 고로 유량 값은 동일하다. 이에 대한 해답은 유량이라는 용어가 가지고 있는 뜻에서 그 답을 찾을 수 있습니다.  

• 여기에 물 탱크가 하나 있습니다. 앞선 내용을 살펴보기 위해서 Tank 는 완전히 밀폐 되어 있다고 가정하겠습니다. 

 

 

 

•  Tank 안에 1000리터의 물을 채워보겠습니다. 물 1.0L = 0.001 m3 이고 따라서 1000리터는 1m3 이 된다는 것 기억해 주세요.  물을 채워 넣고 우측에 Tank B를 배치해 보겠습니다.

• 다음으로 물을 A에서 B로 이동시켜 보겠습니다. 이동시키는 장치는 우리가 일반적으로 많이 사용하는 물 펌프 (Centrigugal pump) 를 사용해 보겠습니다. 

 

 

• 물 펌프를 가동해서 물을 A에서 B로 이송시키겠습니다. 이때 사용한 압력은 3kg/cm2로 일정하다고 가정하겠습니다. 

 

 

• Tank A에 있는 물 1000 리터를 Tank B 로 이동시켰습니다. 앞서 가정한 것처럼 Tank 는 완전히 밀폐되고 화학적 반응이 전혀 없는 상태이므로 물의 질량 1000 리터가 Tank B 로 온전히 이동하였습니다. 말 그대로 질량에 변화가 없으므로 질량보존 법칙이 성립된다는 것을 알 수 있습니다. 
• 다시 1000 리터의 물을 Tank A에 담아 놓고 컨트롤 밸브를 중간 설치하고 Tank B로 물을 이동시켜 보겠습니다. Control valve 의 개폐율은 100% 라고 가정해 보겠습니다. 

 

 

• 탱크 A의 물 B로 이동!

 

• 당연한 결과이지만 완벽히 밀폐된 공간에서의 질량에는 변화가 없습니다. 다시말해 Tank A에 있는 물 1000 리터가 Tank B로 온전히 이동하였습니다. 

그럼 질량에 변화가 없다는 것은 알겠는데 유량에는 어떤 변화가 있는 건가요?

단위시간당 흐르는 유체의 양 이라는 즉 유량이라는 용어의 이해가 필요합니다. 간단한 산수를 하나 해보면. 

 

예) Tank A 에서 B로 이동하는 관의 단면적은 0.1 m2 이고 속도가 10 m/sec. 일 때 유량은 몇일까요?  

 

연속방정식 Q=AV 

따라서 Q = 0.1 m2 x 10 m/sec.

          Q = 0.1 m3/sec.

 

단위 시간당 즉 초(sec.)당 0.1 m3 의 체적이 흐르고 있는 것이지요. 일정한 유체가 흐르고 있는 상태에서 단면적이 작아지면 어떻게 될까요?  단면적을 반으로 줄여 보겠습니다. 

 

 

연속방정식 Q=AV 

따라서 Q = 0.05 m2 x 10 m/sec.

          Q = 0.05 m3/sec.

 

 

산수를 통해 알 수 있듯이 초당 흐르는 체적 볼륨량이 절반으로 줄어 든 것을 확인할 수 있습니다. 

2019.02.17일 내용 추가.

컨트롤 밸브는 Cv 라는 값이 있습니다. 이는 압력 강하 (밸브의 전, 후단)가 1psi 일 때 밸브를 통과하는 유체의 양을 말합니다. (단위는 GPM-Gallon per minutes) 컨트롤 밸브는 밸브의 Travel 에 따라서 Cv 값이 변하게 됩니다. 100% 부터 0% 까지 이에 따른 Cv 값 또한 변하게 됩니다. 다시 말해 관내에 압력이 동일하다 하더라도 Control valve 를 입구에서 나가는 쪽의 유량 값은 변화가 있다는 말 입니다. 컨트롤 밸브 관련 공식을 살펴 보면

Q=sqrt(sg/(P1-P2))
C=Q/N1*√(p1-p0)/(∆P) 

위의 공식에서 Q는 유량을 말하고 ∆P 는 차압을 말합니다. 다시 말해 밸브를 기준으로 입구/출구에 압력 차이가 있다는 얘기 입니다. 이로 인해서 Cv 값이 변하게 되는 것입니다. 

 

질량보존의 법칙에 따라 시스템 내에서 전체적인 유체의 양에는 변화가 없다는 것을 알 수 있습니다. 다만 유량이라고 하는 것은 단위 시간당 흐르는 유체의 양을 말하는 것으로 Tank A에서 B로 이송되어질 때 질량은 변화가 없으나 물이라고 하는 질량이 이동하는 속도가 빠르냐 느리냐의 차이가 있는 것이지요. 다시말해 Tank B로 1000 리터의 물이 빨리 채워지느냐 적게 채워지느냐의 차이 이것이 바로 질량을 단위시간당 이동하는 물의  양에 즉 유량을 말하는 것입니다. 

 

정리하면

• 컨트롤 밸브의 목적은 유량 제어목적입니다. 
• 유량이라고 하는 것은 단위 시간당 관을 통해 이동하는 유체의 질량값 말합니다.
• 컨트롤 밸브 개폐율에 따라 단면적이 변하고 이로 인해 이동하는 유체의 이송 양은 변합니다. 시스템 내에서 전체 질량 값은 변화가 없고 다만 유체의 이송되는 양만 변하게 되는 것이지요. 시간이라는 변수와 함께 빨리 가냐 늦게 이동하느냐의 차이입니다.